أهمية ترتيب العمليات الحسابية في الرياضيات

تعتبر أولويات العمليات الحسابية إحدى الأساسيات في علم الرياضيات. في حال طلب منك تبسيط تعبير كـ “4 + 2 × 3″، قد يتبادر إلى ذهنك السؤال: كيف يمكنني إجراء ذلك؟ هنا لدينا خياران!

أولويات العمليات الحسابية

تبدو الإجابة مرهونة بكيفية تفسيرك للمسألة، ومع ذلك، يجب أن يكون لدينا درجة أعلى من اليقين في الرياضيات.

لن تحقق الرياضيات أي نتائج إذا كنت غير متأكد من الإجابة، أو إذا كان من الممكن أن نحصل على نفس التعبير بأكثر من طريقة.

لو تمكنت من الحصول على إجابتين مختلفتين أو أكثر بنفس النتيجة، هنا يكمن الإشكال.

لتجنب هذا الالتباس، تم وضع مجموعة من القواعد المتعلقة بالأسبقية أو الأولوية، والتي ترسخت على الأقل منذ القرن السادس عشر.

تُعرف هذه القواعد باسم “ترتيب العمليات”، والتي تشمل الجمع والطرح والضرب والقسمة والأس. ترتيب هذه العمليات هو كما يلي: “الأقواس، الأس، الضرب والقسمة، الجمع والطرح”.

ويمكن تلخيص ذلك في أن: الأقواس تتفوق على الأسس، التي تتفوق على الضرب والقسمة (وهذا الأخير لهما نفس مستوى الترتيب)، والضرب والقسمة يتفوقان كذلك على الجمع والطرح (كلاهما يأتي في الترتيب الأدنى). بعبارة أخرى، الأولوية هي:

• الأقواس (تبسيط التعبيرات داخل الأقواس).
• الأس.
• الضرب والقسمة (من اليمين إلى اليسار عندما تكون الأرقام عربية، ومن اليسار إلى اليمين عندما تكون الأرقام إنجليزية).
• الجمع والطرح (من اليمين إلى اليسار عندما تكون الأرقام عربية، ومن اليسار إلى اليمين عندما تكون الأرقام إنجليزية).

تابع أيضًا:

اتجاه حل المسائل

عند مواجهة مجموعة من العمليات من نفس الرتبة، يتم العمل من اليسار إلى اليمين.

على سبيل المثال، عند النظر إلى “15 ÷ 3 × 4”، فإنها ليست “(15 ÷ 3) × 4 = 5 × 4″، بل إن العملية الصحيحة هي “15 ÷ (3 × 4) = 15 ÷ 12”.

عند الانتقال من اليسار إلى اليمين، ستجد أن القسمة تمت أولًا.

إذا كنت غير متأكد من ذلك، يمكنك التحقق باستخدام الآلة الحاسبة الخاصة بك، حيث تم برمجتها باستخدام التسلسل الهرمي لترتيب العمليات.

عند إدخال التعبير المذكور في آلة حاسبة معيارية، ستحصل على:

20 = 15 ÷ 3 × 4

وباستخدام التسلسل الهرمي أعلاه، في السؤال “4 + 2 × 3” الوارد في المقالة، تعتبر القيمة الثانية (التي نتجت 10) هي الإجابة الصحيحة، لأنه يجب إجراء عملية الضرب قبل عملية الجمع.

سبب وجود ترتيب العمليات الرياضية

تم وضع ترتيب العمليات الرياضي بهدف تجنب سوء الفهم، لكن نظام PEMDAS يمكن أن يسبب لبسًا خاصًا به.

يميل بعض الطلاب أحيانًا إلى تطبيق التسلسل الهرمي كما لو كانت جميع العمليات على نفس “المستوى” (فقط الانتقال من اليسار إلى اليمين)، ولكن غالبًا لا تكون هذه العمليات “متساوية”.

في كثير من الأحيان، يساعد حل المسائل من الداخل إلى الخارج، بدلاً من الحل من اليسار إلى اليمين.

لأن بعض أجزاء المسألة قد تكون “أعمق” من الأجزاء الأخرى. لنرى بعض الأمثلة لتوضيح ذلك:

• بسّط المقدار: 32 + 4

الحل: في هذا المثال، يجب تبسيط الأس قبل إضافة العدد 4، ويمكن وصف ذلك كالتالي:

13 = 9 + 4 = 32 + 4، وبالتالي قيمة المقدار المبسطة هي 13.

مثال

• بسّط المقدار: 2(1 + 2) + 4

الحل: في هذا المثال، يجب تبسيط الأعداد داخل الأقواس أولًا قبل التقدم لتطبيق الأس.

وعندها يمكننا إضافة العدد 4، يمكن وصف ذلك كالتالي:

13 = 9 + 4 = 2(3) + 4 = 2(1 + 2) + 4، لذا قيمة المقدار المبسطة هي 13.

مثال آخر

• بسّط المقدار: 2 [(1 – 2-) 1-] + 4

لا يتعين علينا محاولة حل هذه الأقواس المتداخلة من اليسار إلى اليمين، لأن هذه الطريقة تؤدي ببساطة إلى أخطاء.

بدلاً من ذلك، سنقوم بحل المسألة من الداخل إلى الخارج، بدايةً بتبسيط الأعداد داخل الأقواس المتعرجة.

وبعدها سنقوم بتبسيط ما داخل الأقواس المربعة، وبعد ذلك فقط سنقوم بعملية التربيع.

بعد الانتهاء من جميع هذه الخطوات، يمكننا أخيرًا إضافة العدد 4، يمكن وصف ذلك كالتالي:

2 [(1 – 2-) 1-] + 4

2[(3-) 1-] + 4 =

2[3] + 4 =

9 + 4 =

13 =

لا توجد أهمية خاصة لاستخدام الأقواس المربعة (“[” و “]” أعلاه)، بدلاً من استخدام الأقواس التقليدية.

حيث تُستخدم الأقواس المعقوفة والأقواس المتعرجة (الأحرف “{” و “}”) كوسيلة لتتبع الأقواس المستخدمة أثناء العمل على الأقواس المتداخلة.

كما تُستخدم أحرف التجميع المختلفة لمجرد الراحة، وهذا مشابه لما يحدث في جدول بيانات Excel عند إدخال صيغة باستخدام الأقواس:

كل مجموعة من الأقواس تأتي مميزة باستخدام الألوان، ما يسهل عليك معرفة الأزواج.

مقال

• بسّط المقدار: (4/3 + 2/3-) 4

الحل: سنقوم بتبسيط الأعداد الموجودة داخل الأقواس أولاً، ويمكن وصف ذلك كالتالي:

(4/3 + 2/3-) 4

أيضًا (3 / 4 + 2-) 4 =

وبذلك (3 / 2) 4 =

3 / 8 =

لذا، قيمة المقدار المبسطة هي 3 / 8.

المشاكل المتعلقة بالتبسيط

تتجلى معظم القضايا المرتبطة بالتبسيط باستخدام ترتيب العمليات في الأقواس المتداخلة والأس وعلامات الطرح.

لذا، في الأمثلة التالية، سنقوم بشرح كيفية التعامل مع هذه الأنواع من التعبيرات.

مثال

• بسّط المقدار: 2 ÷ [(3 – 6) 2 – 4] 3 – 4

الحل: سنقوم بتبسيط المقدار من الداخل إلى الخارج. أولًا، نبدأ بالأقواس، ثم الأقواس المربعة، مع الحرص على ملاحظة أن علامة “الطرح” على 3 أمام الأقواس تتماشى مع الرقم 3.

فقط بعد إتمام عملية التجميع، سوف نجري عملية القسمة متبوعة بإضافة العدد 4، يمكن وصف ذلك كالتالي:

2 ÷ [(3 – 6) 2 – 4] 3 – 4

2 ÷ [(3) 2 – 4] 3 – 4 =

كما مُنْتَج 2 ÷ [6 – 4] 3 – 4 =

بينما 2 ÷ [2-] 3 – 4 =

وأخيرًا نحصل على 2 ÷ 6 + 4 =

وبهذه العملية نحصل على 3 + 4 =

7 =

إذن، قيمة المقدار المبسطة هي 7.

مثال آخر

• بسّط المقدار: 5 ÷ 2(3 – 8) 3 – 16

الحل: يجب أن تتذكر أهمية تبسيط ما بداخل الأقواس قبل إجراء أي تربيع.

لأن 2(3 – 8) تختلف عن 32 – 82، يمكن وصف ذلك كالتالي:

5 ÷ 2(3 – 8) 3 – 16

أيضًا يساوي 5 ÷ 2(5) 3 – 16 =

5 ÷ (25) 3 – 16 =

وبذلك نحصل على 5 ÷ 75 – 16 =

لنصل في نهاية المطاف إلى 15 – 16 =

1 =

وبهذا تكون القيمة المبسطة للمقدار هي 1.

المتغيرات في العمليات الحسابية

إذا كنت قد درست المتغيرات وجمع التعابير، قد تواجه أيضًا تمارين مثل هذه:

• بسّط المقدار: [(14x + 5 [6 – (2x + 3)]

الحل: إذا كنت تواجه صعوبة في أخذ عملية الطرح من خلال قوسين، يمكنك تحويلها إلى ضرب سالب 1 في الأقواس (يرجى ملاحظة اللون الأحمر المميز “1” أدناه):

[(14x + 5 [6 – (2x + 3)]

أيضًا [(14x + 5[6 – 1(2x + 3)] =

[14x + 5[6 – 2x – 3] =

بينما يصبح [14x + 5[3 – 2x] =

14x + 15 – 10x =

4x + 15 =

وبذلك، تكون القيمة المبسطة للمقدار هي 4x + 15.

مثال

• بسّط المقدار: {2x – [3 – (4 – 3x)] + 6x} –

الحل: يجب أن تتذكر أهمية التبسيط في كل خطوة، وكذلك الجمع بين المصطلحات المتشابهة متى وأينما أمكنك ذلك:

{2x – [3 – (4 – 3x)] + 6x} – =

أيضًا 2x – 1[3 – 1(4 – 3x)] + 6x} – =

{2x – 1[3 – 4 + 3x] + 6x} – =

بينما يمكن كتابة {2x – 1[– 1 + 3x] + 6x} – =

{2x + 1 – 3x + 6x} – =

لتصبح {2x + 6x – 3x + 1} – =

وبذلك نحصل على {5x + 1} – =